Die paraxiale Näherung für rotationssymmetrische Linsensysteme als vierparametrige lokale Lie-Gruppe von Projektivitäten

Die paraxiale Abbildung einer brechenden Fläche kann als gebrochen lineare Abbildung geschrieben werden, zu der eine Projektivität des P3 gehört. Wenn man diese Abbildungen verknüpft, erhält man als Verknüpfungsgebilde die einfachste nicht-abelsche (zweidimensionale) Lie-Gruppe, die Affinitäten der reellen Geraden. Nimmt man die Scheiteltranslationen hinzu, benötigt man neben dem Parameter für die Scheiteltranslation noch genau einen weiteren Parameter. Man erhält so eine vierdimensionale lokale Lie-Gruppe. Diese vier Parameter lassen sich umkehrbar eindeutig auf die Hauptebenen- und Brennweitenkoordinaten umrechnen. Das Hintereinanderschalten von Teilsystemen lässt sich dann mit der algebraischen Multiplikation von 2 mal 2 Matrizen berechnen.